Asymptotische Analysis und die Brücke zu symmetrischen Kegeln in der Dunkl-Theorie

Das Projekt ist im Bereich der harmonischen Analysis und der Theorie spezieller Funktionen zu Wurzelsystemen angesiedelt, mit einem Fokus auf dem Wechselspiel mit der Analysis auf symmetrischen Räumen. Zunächst sollen in diesem Projekt Fragestellungen der Dunkl-Theorie untersucht werden, die durch den Zusammenhang zur Analysis auf symmetrischen Kegeln motiviert sind. Dabei wollen wir ein auf Ideen von I.G. Macdonald basierendes, kürzlich von der Antragstellerin initiiertes Programm fortsetzen. Die dabei auftretenden speziellen Funktionen sind u.a. beim Studium quantenintegrabler Modelle vom Calogero-Moser-Typ von Interesse. Wir erwarten, dass zahlreiche Resultate der Analysis auf symmetrischen Kegeln Analoga bzw. Verallgemeinerungen in der Dunkl-Theorie zu Wurzelsystemen vom Typ A besitzen. Aufgrund des fehlenden geometrischen Hintergrunds sind die Strukturen in der Dunkl-Theorie aber starrer und werden neue Beweismethoden, etwa aus dem Bereich der algebraischen Kombinatorik, erfordern. Studiert werden sollen insbesondere die Laplace-Transformation von Heckman-Opdam-hypergeometrischen Funktionen sowie Zeta-Distributionen im Kontext der Dunkl-Theorie. Als Konsequenzen erwarten wir auch interessante Resultate für die hypergeometrischen Jack-Polynom-Reihen von Macdonald. Im zweiten Teil des Projekts sollen asymptotische Eigenschaften von Heckman-Opdam hypergeometrischen Funktionen untersucht werden, und zwar insbesondere für den Fall, dass der Rang, d.h. die Zahl der Variablen gegen unendlich geht. Ziel ist es, Resultate von Okounkov und Olshanski für den polynominalen Fall auf den nicht-polynominalen Fall auszudehnen. Wir suchen dabei nach Verallgemeinerungen bekannter Resultate für die sphärischen Funktionen unendlichdimensionaler symmetrischer Räume, die als Limiten nichtkompakter symmetrischer Räume bei wachsendem Rang entstehen. Schließlich hoffen wir, dass die im Zuge des Projekts gewonnene Expertise auch helfen wird, hinsichtlich einer der seit langem offenen, wichtigen Vermutungen in der Dunkl-Cherednik Theorie Fortschritte erzielen zu können, nämlich der Frage nach der Existenz positiver Produktformeln und assoziierter Faltungsalgebren jenseits der geometrischen Fälle.

DFG-Verfahren: Sachbeihilfen