Die Darstellungstheorie ist eine Querschnittsdisziplin der reinen Mathematik und als solche eng mit vielen anderen Gebieten in Mathematik und Naturwissenschaften verbunden. Ihr Anwendungsbereich ist ungewöhnlich weit gefächert. In der Chemie verwendet man Darstellungstheorie etwa bei der Untersuchung der Symmetrien von Molekülen, in der Physik ist die Quantenmechanik ein klassischer Anwendungsbereich. Weitere Beispiele von Anwendungsgebieten in der Physik und angrenzenden Gebieten sind integrable Gittermodelle, die Theorie der Elementarteilchen, Zufallsmatrixtheorie, Stringtheorie und Quantum Computing. Zu den vielen Zweigen der Mathematik, in denen die Darstellungstheorie eine wichtige Rolle spielt, gehören Algebraische Geometrie, Topologie, Zahlentheorie und Differentialgeometrie.
Begründet wurde die Darstellungstheorie gegen Ende des 19. Jahrhunderts durch Frobenius im Rahmen seiner Untersuchungen von endlichen Gruppen. Anfang des 20. Jahrhunderts wurden fundamentale Grundlagen, Objekte und Begriffe durch Pioniere wie Schur, Burnside, Cartan, Killing, Noether, Weyl und Brauer entwickelt. Heute ist die Darstellungstheorie wegen ihrer universellen Anwendbarkeit und der Vielfalt ihrer Ausformungen interdisziplinär ausgerichtet und stellt ein mathematisch-naturwissenschaftliches Ordnungsprinzip bereit.
Seit den Anfängen der Darstellungstheorie haben gewichtige Umbrüche in der Sichtweise und der konzeptionellen Vorgehensweise zur Bildung und Neuausrichtung von Teilgebieten geführt. Seit einigen Jahren bewegen sich die Teilbereiche der Darstellungstheorie mit zunehmender Geschwindigkeit wieder aufeinander zu. Neue fachübergreifende methodische Zugänge entstehen, und die innovative Kombination und Weiterentwicklung von Methoden ermöglicht vertiefte Einsichten in Grundprobleme ebenso wie verbesserte Anwendungen.
Die Herausforderung für das Schwerpunktprogramm besteht darin, die Zusammenarbeit der Teildisziplinen bei der Lösung von Grundlagenproblemen, bei der Entwicklung neuer Methoden und bei deren Anwendungen innerhalb und außerhalb der Darstellungstheorie zu fördern und übergreifende und interdisziplinäre Aktivitäten zu organisieren und zu unterstützen.
DFG-Verfahren Schwerpunktprogramme
Internationaler Bezug Schweiz, USA
