Zahme abgeleitete Kategorien und ihre Anwendungen in der Algebraischen Geometrie, Darstellungstheorie, Singularitätentheorie und der mathematischen Physik
Überblick
Die Technik abgeleiteter und triangulierter Kategorien ist eine universelle Sprache, in der eine Synthese von Konzepten und Methoden verschiedener mathematischer Gebiete kumuliert. Mit ihrer Hilfe kann man Begriffe und Ergebnisse aus der algebraischen Geometrie bei der kompakten Formulierung und Lösung komplizierter analytischer Probleme anwenden, ein bekanntes Beispiel davon ist die Interpretation von Komplexen kohärenter Garben auf Calabi-Yau Varietäten als D-Branes in der homologischen Spiegelsymmetrie und in der Stringtheorie. Im Fall von abgeleiteten Kategorien auf elliptischen Kurven und ihren Entartungen wollen wir uns mit Anwendungen zu Yang-Baxter Gleichungen und integrablen Systemen weiter beschäftigen.Die Untersuchung kohärenter Garben auf projektiven Kurven vom arithmetischen Geschlecht eins steht in enger Beziehung zur Darstellungstheorie von gewissen assoziativen Algebren. Ein weiteres Ziel des Projektes ist, die geometrische Intuition von kohärenten Garben auf den nicht-kommutativen Fall zu übertragen.Verschiedene Fragen der birationalen Geometrie dreidimensionaler Singularitäten, wie zum Beispiel die Existenz einer krepanten Auflösung, lassen sich in der Sprache von maximalen Cohen-Macaulay Moduln formulieren. Durch das Konzept der Cluster-Kipp-Theorie wird ein Zusammenhang zwischen der stabilen Kategorie von CM Moduln über Gorensteinschen lokalen Ringen und Darstellungen gewisser zahmer assoziativer Algebren hergestellt.Es sollen im Rahmen des Projektes folgende konkrete Themen behandelt werden:
- Abgeleitete Kategorien von Entartungen elliptischer Kurven
- Vektorbündel auf elliptischen Faserungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik
- Zahme abgeleitete Kategorien von assoziativen Algebren und ihre Geometrie
- Cohen-Macaulay Moduln über Kurven- und Flächensingularitäten
DFG-Verfahren Emmy Noether-Nachwuchsgruppen
(3 Doktorandenstellen für 36 Monate und eine Stelle eines Nachwuchsgruppenleiters für 60 Monate)
Detailinformationen
Ergebnisse
Maximal Cohen–Macaulay modules over surface singularities, Trends in Representations of Algebras and Related Topics, 101–160, EMS Publishing House (2008) I. Burban, Yu. Drozd Mutation–classes of diagrams via infinite graphs, Math. Nachr. 284 (2011), no. 17-18, 2184–2205 T. Henrich Tilting on non-commutative rational projective curves, Mathematische Annalen 351, no. 3, 665–709 (2011) I. Burban, Yu. Drozd Frobenius morphism and vector bundles on cycles of projective lines, Comm. in Algebra 40, no. 8, 2983–2988 (2012) I. Burban On the Hall algebra of an elliptic curve I, Duke Math. Journal, vol. 161, no. 7, 1171–1231 (2012) I. Burban, O. Schiffmann Semi-stable vector bundles on elliptic curves and the associative Yang–Baxter equation, Journal of Geometry and Physics 62, no. 2, 312–329 (2012) I. Burban, T. Henrich Singularity category of a non-commutative resolution of singularities, Adv. in Math., vol. 231, no. 1, 414–435 (2012) I. Burban, M. Kalck Two descriptions of the quantum affine algebra Uv (sl2 ) via Hall algebra approach, Glasgow Journal of Math. 54, no.2, 283–307 (2012) I. Burban, O. Schiffmann Vector bundles on degenerations of elliptic curves and Yang–Baxter equations, Memoirs of the AMS 220, no. 1035 (2012) I. Burban, B. Kreußler Vector bundles on plane cubic curves and the classical Yang-Baxter equation, Journal of the European Math. Soc. I. Burban, T. Henrich (Siehe online unter https://arxiv.org/abs/1202.5738) Composition algebra of a weighted projective line, J. Reine Angew. Math, vol. 679, 75–124 (2013) I. Burban, O. Schiffmann Analytic moduli spaces of simple sheaves on families of integral curves, Math. Nachr., vol. 287, no. 2-3, 173–183 (2014) I. Burban, B. Kreußler (Siehe online unter https://doi.org/10.1002/mana.201200355)Projektbezogene Publikationen (Auswahl)