Mikrolokale Methoden für hyperbolische Dynamiken

Ein fundamentales Paradigma der statistischen Physik lautet, dass hinreichend komplexe dynamische Systeme sehr schnell in einen Gleichgewichtszustand konvergieren. Um diese Konvergenz ins Gleichgewicht mathematisch rigoros zu beweisen, ordneten Pollicott und Ruelle in den 1980er Jahren einer bestimmten Klasse dynamischer Systeme, den sogenannten Axiom-A-Systemen, eine diskrete Menge von Punkten in der komplexen Ebene, sogenannte Pollicott-Ruelle Resonanzen, zu. Die Verteilung dieser Resonanzen erlaubt es, weitreichende Rückschlüsse über das Konvergenzverhalten dieser dynamischen Systeme zu ziehen.In den vergangenen Jahren wurde in einer Reihe wegweisender Arbeiten gezeigt, dass man die Resonanzen hyperbolischer dynamischer Systeme als diskrete Spektren global definierter linearer Operatoren interpretieren kann. Diese Neuinterpretation revolutionierte das Gebiet, da sie nicht nur erlaubte, wesentlich stärkere Aussagen über die Verteilung der Resonanzen zu treffen. Zusätzlich erlaubte diese Neuinterpretation eine Vielzahl von Querverbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik (z.B. Zeta-Funktionen, Spektralgeometrie, Topologie und Inverse Probleme) zu etablieren, in denen die Resonanzen zur Anwendung kommen. Diese weitreichenden Anwendungen wurden entwickelt, obwohl die Axiom-A-Systeme, für welche die Spektraltheorie etabliert ist, nur einen kleinen Teil der relevanten Systeme ausmachen. Der erste Schwerpunkt dieses Projekts ist es daher, die Spektraltheorie von Pollicott-Ruelle-Resonanzen systematisch auf allgemeinere Systeme auszuweiten. Ein besonderes Augenmerk soll hierbei auf hyperbolischen Flüssen jenseits der Axiom-A Klasse sowie auf Anosov-Wirkungen höheren Rangs liegen. Ein zweiter Schwerpunkt des Projektes liegt in der Entwicklung neuer Anwendungsmöglichkeiten der Spektraltheorie von Pollicott-Ruelle-Resonanzen, sowohl im etablierten Rahmen der Axiom-A-Systeme als auch im Rahmen der neu entwickelten allgemeineren Systeme. Ein Beispiel hierfür ist die Entwicklung neuer multivariater dynamischer Zeta-Funktionen mit Anwendungen auf Zählprobleme geschlossener Torus-Bahnen. Ein weiteres Beispiel sind dynamische Resonanzen und Resonanzzustände auf arithmetischen lokal symmetrischen Räumen, welche eine neuartige Darstellung von Modulformen und Eisensteinreihen aus der analytischen Zahlentheorie ermöglichen sollen.

DFG-Verfahren Emmy Noether-Nachwuchsgruppen