SPP 1962 - Mehrziel-Optimalsteuerung partieller Differentialgleichungen mittels Modellreduktion (Teilprojekt)

In technischen Anwendungen sind in der Entwicklung und im Betrieb fast immer mehrere Zielsetzungen gleichzeitig zu berücksichtigen.Beispiele dafür sind schnelle aber energieeffiziente Fahrzeuge und Konstruktionen, die sowohl leicht als auch stabil gestaltet werden müssen. Das Ziel bei der Optimierung solcher Mehrzielprobleme ist es, die Menge der optimalen Kompromisse – die sogenannte Paretomenge – zu bestimmen. Aus dieser Menge kann ein Entscheider dann einen geeigneten Kompromiss wählen. In Kontrollanwendungen ist es darüber hinaus möglich, situationsbedingt zwischen verschiedenen Kompromisslösungen zu wechseln und auf geänderte Rahmenbedingungen zu reagieren. Da die Paretomenge im Allgemeinen unendlich viele Kompromisslösungen beinhaltet, ist die numerische Berechnung der Menge deutlich aufwändiger als die Lösung eines skalaren Optimierungsproblems. Insbesondere, wenn rechenintensive Modelle verwendet werden, kann dies sehr schnell zu einem unzulässig hohen numerischen Aufwand führen. Diese Problematik tritt beispielsweise zutage, wenn das zugrundeliegende System durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben wird.Anstelle der klassischen numerischen Approximation mittels Finiter-Elemente-Methode werden in diesem Zusammenhang häufig Ersatzmodelle, die bedeutend schneller gelöst werden können, verwendet. Dies ist insbesondere für nichtglatte Probleme wichtig, da deren Lösung häufig nochmals teurer ist. Im Gegenzug wird durch das Ersatzmodell ein Approximationsfehler eingeführt, welcher quantifiziert und bei der Analyse sowie der Entwicklung numerischer Algorithmen berücksichtigt werden muss. Für nichtglatte Probleme gibt es hierzu bislang nur wenige Ergebnisse. Das Ziel dieses Projektes ist es, effiziente numerische Methoden zur Lösung von Mehrzieloptimierungsproblemen, die durch bestimmte Klassen nichtglatter partieller Differentialgleichungen beschränkt werden, zu entwickeln. Dafür werden zunächst Optimalitätsbedingungen für diese Problemklasse hergeleitet und die (hierarchische) Struktur der Paretomenge analysiert. Darauf aufbauend werden Algorithmen für die Berechnung der Paretomengen dieser Probleme entwickelt. Diese Verfahren werden für die Optimierung von Problemen mit max-Termen sowie von Kontaktproblemen und zeitabhängigen hybriden und geschalteten Systemen verwendet. Um den numerischen Aufwand zu bewältigen, werden Modellreduktionsverfahren wie z. B. Reduced Basis, Proper Orthogonal Decomposition und auch neuere, auf dem Koopman Operator basierende Ansätze auf die nichtglatten Problemklassen erweitert und verwendet. Dadurch wird dieBetrachtung von Inexaktheiten in der Konvergenzanalyse erforderlich.Die entwickelten Resultate sollen schließlich in Kooperation mit weiteren Projekten des Schwerpunktprogrammes in zahlreichen Anwendungsproblemen zum Einsatz kommen.

DFG-Verfahren Schwerpunktprogramme

Teilprojekt zu SPP 1962: Nichtglatte Systeme und Komplementaritätsprobleme mit verteilten Parametern: Simulation und mehrstufige Optimierung